Utilnaro

Wzory ze statystyki

Średnia, mediana, wariancja i odchylenie standardowe

Wklej listę liczb, aby otrzymać liczebność, sumę, średnią, medianę, dominantę, rozstęp oraz wariancję i odchylenie standardowe osobno dla populacji i dla próby.

Wzór

x‾=Σxin;s2=Σ(xi−x‾)2n−1 x̄ = Σxᵢ / n; σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n; s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)

Średnia, mediana i dominanta opisują położenie danych, a wariancja i odchylenie standardowe rozrzut wartości wokół średniej: dla całej populacji dzielimy sumę kwadratów odchyleń przez n, a dla próby przez n − 1.

Kalkulator: średnia, mediana, wariancja i odchylenie standardowe

Czym jest ten zbiór danych?

Dane

Dane uporządkowane: 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9

Wynik aktualizuje się automatycznie. Wartości możesz wkleić z arkusza kalkulacyjnego.

Wyniki

Wariancja σ² (n = 8)

4

Odchylenie standardowe σ

2

Dla drugiego wariantu — Próba (dzielnik n − 1): s² = 4,571429; s = 2,13809

Liczebność n
8
Suma Σxᵢ
40
Średnia x̄
5
Mediana Me
4,5
Dominanta Mo
4
Rozstęp R
7
Minimum
2
Maksimum
9

Suma kwadratów odchyleń Σ(xᵢ − x̄)² = 32

Symbole i jednostki

SymbolWielkośćSIObsługiwane jednostki
xᵢobserwacjePoszczególne wartości zbioru danych; kolejność wpisywania nie ma znaczenia.11
nliczebnośćLiczba obserwacji w zbiorze danych.11
x̄średnia arytmetycznaSuma wszystkich wartości podzielona przez liczebność.11
MemedianaŚrodkowa wartość uporządkowanych danych, a przy parzystej liczebności średnia dwóch wartości środkowych.11
ModominantaWartość najczęstsza; nie istnieje, gdy żadna wartość się nie powtarza, i jest wieloznaczna, gdy kilka wartości ma tę samą największą liczność.11
RrozstępRóżnica między największą a najmniejszą wartością.11
σ²wariancja populacjiŚredni kwadrat odchylenia od średniej, z dzielnikiem n.11
σodchylenie standardowe populacjiPierwiastek kwadratowy z wariancji populacji, wyrażony w jednostce danych.11
s²wariancja próbyNieobciążony estymator wariancji populacji, z dzielnikiem n − 1; wymaga co najmniej dwóch obserwacji.11
sodchylenie standardowe próbyPierwiastek kwadratowy z wariancji próby, wyrażony w jednostce danych.11

Przekształcenia wzoru

Średnia arytmetyczna

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

Mediana danych uporządkowanych

Me = x₍ₖ₎ dla n nieparzystego, k = (n + 1) / 2; Me = (x₍ₙ/₂₎ + x₍ₙ/₂₊₁₎) / 2 dla n parzystego

Wariancja populacji (dzielnik n)

σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n

Wariancja próby (dzielnik n − 1)

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)

Odchylenie standardowe

σ = √σ²; s = √s²

Rozstęp

R = max − min

Przykłady krok po kroku

Odchylenie standardowe całej populacji

Osiem pomiarów tworzy cały zbiór danych: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Oblicz odchylenie standardowe populacji.

  1. 1Krok 1: Dodaj wartości: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 i podziel przez n = 8, aby otrzymać x̄ = 5.
  2. 2Krok 2: Podnieś do kwadratu każde odchylenie od średniej: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32.
  3. 3Krok 3: Podziel przez n = 8, aby otrzymać σ² = 4, a następnie oblicz pierwiastek: σ = 2.
  4. 4Krok 4: Te same liczby potraktowane jako próba dałyby dzielnik n − 1 = 7: s² = 32/7 ≈ 4,571 oraz s ≈ 2,138.

Wynik: σ = 2 (populacja); s ≈ 2,138 (próba)

Wariancja próby

Pięć wyników sprawdzianu wylosowanych z większej klasy: 12, 15, 15, 18, 20. Oblicz wariancję próby.

  1. 1Krok 1: Dodaj wartości: 12 + 15 + 15 + 18 + 20 = 80 i podziel przez n = 5, aby otrzymać x̄ = 16.
  2. 2Krok 2: Podnieś do kwadratu każde odchylenie od średniej: 16 + 1 + 1 + 4 + 16 = 38.
  3. 3Krok 3: Ponieważ dane są próbą, podziel przez n − 1 = 4: s² = 9,5 oraz s = √9,5 ≈ 3,082.
  4. 4Krok 4: Te same liczby jako cała populacja dałyby σ² = 38/5 = 7,6, czyli zauważalnie mniej.

Wynik: s² = 9,5; s ≈ 3,082 (populacja: σ² = 7,6)

Źródła i weryfikacja