Wzory matematyczne

Wzory ze statystyki

Opisuj zbiór danych miarami położenia i rozproszenia: średnią, medianą, dominantą, rozstępem, wariancją i odchyleniem standardowym.

Wzory i kalkulatory

Średnia, mediana, wariancja i odchylenie standardowe

Wklej listę liczb, aby otrzymać liczebność, sumę, średnią, medianę, dominantę, rozstęp oraz wariancję i odchylenie standardowe osobno dla populacji i dla próby.

x̄ = Σxᵢ / n; σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n; s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)

Obliczane wielkości

xᵢ - obserwacje · n - liczebność · x̄ - średnia arytmetyczna · Me - mediana · Mo - dominanta · R - rozstęp · σ² - wariancja populacji · σ - odchylenie standardowe populacji · s² - wariancja próby · s - odchylenie standardowe próby

Przejdź do wzoru

Jak wybrać właściwy wzór

Średnia, mediana, wariancja i odchylenie standardowe

x̄ = Σxᵢ / n; σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n; s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)

Zastosowanie: Średnia, mediana i dominanta opisują położenie danych, a wariancja i odchylenie standardowe rozrzut wartości wokół średniej: dla całej populacji dzielimy sumę kwadratów odchyleń przez n, a dla próby przez n − 1.
Obliczane wielkości: xᵢ - obserwacje (1) · n - liczebność (1) · x̄ - średnia arytmetyczna (1) · Me - mediana (1) · Mo - dominanta (1) · R - rozstęp (1) · σ² - wariancja populacji (1) · σ - odchylenie standardowe populacji (1) · s² - wariancja próby (1) · s - odchylenie standardowe próby (1)
Przykład: Odchylenie standardowe całej populacji: Osiem pomiarów tworzy cały zbiór danych: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Oblicz odchylenie standardowe populacji.

Przejdź do wzoru

Co sprawdzić przed obliczeniem

Założenia i warunki

Wszystkie wartości opisują jedną cechę mierzoną w tej samej jednostce; zbiór musi zawierać co najmniej jedną wartość.
Dzielnik n stosujemy, gdy liczby są całą populacją, a dzielnik n − 1, gdy są próbą służącą do oszacowania większej populacji.
Dla jednej obserwacji wariancja próby nie istnieje, ponieważ dzielnik n − 1 byłby równy zeru.
Średnia, mediana, dominanta, rozstęp i odchylenie standardowe zachowują jednostkę danych, a wariancja ma tę jednostkę podniesioną do kwadratu.
Dominanta nie istnieje, gdy żadna wartość się nie powtarza, i jest wieloznaczna, gdy kilka wartości ma tę samą największą liczność.
Medianę odczytujemy z danych uporządkowanych, więc kolejność wpisywania wartości nie zmienia żadnego wyniku.

Najczęstsze błędy

Dzielenie przez n dla danych z próby albo przez n − 1 dla całej populacji; dzielnik decyduje, czy wynikiem jest σ², czy s².
Odczytywanie mediany bez wcześniejszego uporządkowania danych.
Podawanie wariancji w jednostce danych zamiast w tej jednostce podniesionej do kwadratu.
Zakładanie, że dominanta zawsze istnieje i jest jednoznaczna.
Zaokrąglanie średniej przed obliczeniem odchyleń, co zniekształca wariancję.
Mylenie odchylenia standardowego z rozstępem albo ze średnim odchyleniem bezwzględnym.