Wzory matematyczne

Wzory dotyczące ciągów

Obliczaj wyrazy i sumy ciągów arytmetycznych oraz geometrycznych, w tym zbieżnych szeregów nieskończonych.

Wzory i kalkulatory

Oblicz n-ty wyraz albo sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, a także wyznacz pierwszy wyraz, różnicę lub numer wyrazu.

aₙ = a₁ + (n - 1) × r; Sₙ = n × (a₁ + aₙ) / 2

Obliczane wielkości

a₁ - pierwszy wyraz · r - różnica ciągu · n - numer wyrazu · aₙ - n-ty wyraz · Sₙ - suma n początkowych wyrazów

Oblicz n-ty wyraz, sumę n początkowych wyrazów albo sumę zbieżnego szeregu geometrycznego, a także wyznacz a₁, q lub n.

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹; Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) / (1 - q)

Obliczane wielkości

a₁ - pierwszy wyraz · q - iloraz ciągu · n - numer wyrazu · aₙ - n-ty wyraz · Sₙ - suma n początkowych wyrazów · S - suma szeregu nieskończonego

aₙ = a₁ + (n - 1) × r; Sₙ = n × (a₁ + aₙ) / 2

Zastosowanie: W ciągu arytmetycznym każdy wyraz różni się od poprzedniego o tę samą liczbę r, więc n-ty wyraz rośnie liniowo, a suma początkowych wyrazów jest iloczynem ich liczby i średniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu.
Obliczane wielkości: a₁ - pierwszy wyraz (1) · r - różnica ciągu (1) · n - numer wyrazu (1) · aₙ - n-ty wyraz (1) · Sₙ - suma n początkowych wyrazów (1)
Przykład: Dwunasty wyraz ciągu: Ciąg arytmetyczny zaczyna się od a₁ = 5 i ma różnicę r = 3. Oblicz a₁₂.

aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹; Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) / (1 - q)

Zastosowanie: W ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez ten sam iloraz q, więc n-ty wyraz rośnie wykładniczo; suma częściowa wymaga osobnego wzoru dla q = 1, a cały szereg nieskończony ma sumę skończoną tylko dla |q| < 1.
Obliczane wielkości: a₁ - pierwszy wyraz (1) · q - iloraz ciągu (1) · n - numer wyrazu (1) · aₙ - n-ty wyraz (1) · Sₙ - suma n początkowych wyrazów (1) · S - suma szeregu nieskończonego (1)
Przykład: Ósmy wyraz ciągu: Ciąg geometryczny zaczyna się od a₁ = 3 i ma iloraz q = 2. Oblicz a₈.

Różnica r kolejnych wyrazów jest stała w całym ciągu.
Numer wyrazu n jest liczbą naturalną większą lub równą 1; nie istnieje wyraz numer 0 ani wyraz numer 2,5.
Różnicę można wyznaczyć z a₁ i aₙ dopiero dla n co najmniej 2, ponieważ sam wyraz a₁ nie niesie informacji o r.
Numer wyrazu można wyznaczyć tylko dla r różnego od zera; dla r = 0 każdy wyraz jest równy a₁.
Wzór na sumę obejmuje n kolejnych wyrazów licząc od a₁.
Iloraz q kolejnych wyrazów jest stały i różny od zera, a pierwszy wyraz a₁ również jest różny od zera.
Numer wyrazu n jest liczbą naturalną większą lub równą 1.
Wzór na sumę częściową z mianownikiem (1 - q) obowiązuje tylko dla q ≠ 1; dla q = 1 suma wynosi n × a₁.

Użycie n zamiast n - 1 we wzorze ogólnym i przesunięcie całego ciągu o jeden wyraz.
Podanie numeru wyrazu, który nie jest dodatnią liczbą całkowitą; ciąg nie ma wyrazu numer 0 ani numer 3,5.
Podstawienie do wzoru na sumę pierwszego wyrazu zamiast ostatniego, czyli Sₙ = n × 2a₁ / 2.
Próba wyznaczenia różnicy z jednego wyrazu albo numeru wyrazu przy r = 0.
Użycie wykładnika n zamiast n - 1 i podanie kolejnego wyrazu ciągu.
Stosowanie Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) / (1 - q) dla q = 1, co prowadzi do dzielenia przez zero zamiast do n × a₁.
Sumowanie szeregu nieskończonego przy |q| ≥ 1, gdzie sumy częściowe rosną bez granicy.
Podanie a₁ = 0 albo q = 0, co nie definiuje ciągu geometrycznego.