Oblicz n-ty wyraz
aₙ = a₁ + (n - 1) × rWzory dotyczące ciągów
Ciąg arytmetyczny
Oblicz n-ty wyraz albo sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, a także wyznacz pierwszy wyraz, różnicę lub numer wyrazu.
Wzór
aₙ = a₁ + (n - 1) × r; Sₙ = n × (a₁ + aₙ) / 2 W ciągu arytmetycznym każdy wyraz różni się od poprzedniego o tę samą liczbę r, więc n-ty wyraz rośnie liniowo, a suma początkowych wyrazów jest iloczynem ich liczby i średniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu.
Kalkulator: ciąg arytmetyczny
Symbole i jednostki
| Symbol | Wielkość | SI | Obsługiwane jednostki |
|---|---|---|---|
| a₁ | pierwszy wyrazWartość wyrazu o numerze 1, od którego generowany jest cały ciąg. | 1 | 1 |
| r | różnica ciąguStała różnica dwóch kolejnych wyrazów: r = aₙ₊₁ - aₙ. Może być ujemna lub równa zero. | 1 | 1 |
| n | numer wyrazuPozycja wyrazu w ciągu; liczba naturalna większa lub równa 1. | 1 | 1 |
| aₙ | n-ty wyrazWartość wyrazu o numerze n, obliczona ze wzoru ogólnego. | 1 | 1 |
| Sₙ | suma n początkowych wyrazówSuma a₁ + a₂ + ... + aₙ pierwszych n wyrazów ciągu. | 1 | 1 |
Przekształcenia wzoru
Oblicz sumę n wyrazów
Sₙ = n × (a₁ + aₙ) / 2Oblicz pierwszy wyraz
a₁ = aₙ - (n - 1) × rOblicz różnicę ciągu
r = (aₙ - a₁) / (n - 1)Oblicz numer wyrazu
n = (aₙ - a₁) / r + 1Przykłady krok po kroku
Dwunasty wyraz ciągu
Ciąg arytmetyczny zaczyna się od a₁ = 5 i ma różnicę r = 3. Oblicz a₁₂.
- 1Krok 1: Użyj wzoru ogólnego aₙ = a₁ + (n - 1) × r.
- 2Krok 2: Podstaw a₁ = 5, r = 3 i n = 12: a₁₂ = 5 + 11 × 3.
- 3Krok 3: Pomnóż 11 × 3 = 33 i dodaj 5, aby otrzymać a₁₂ = 38.
Wynik: a₁₂ = 38
Suma dwudziestu początkowych wyrazów
Ciąg arytmetyczny ma a₁ = 2 i r = 4. Oblicz sumę jego 20 początkowych wyrazów.
- 1Krok 1: Najpierw wyznacz ostatni wyraz: a₂₀ = 2 + 19 × 4 = 78.
- 2Krok 2: Użyj wzoru na sumę Sₙ = n × (a₁ + aₙ) / 2.
- 3Krok 3: Podstaw: S₂₀ = 20 × (2 + 78) / 2 = 10 × 80 = 800.
Wynik: S₂₀ = 800 (a₂₀ = 78)
Źródła i weryfikacja
- Algebra and Trigonometry 2e, section 13.2: Arithmetic Sequences
OpenStax · Sprawdzono 29 sierpnia 2026
Definicja ciągu arytmetycznego i wzór ogólny na jego n-ty wyraz.
- Algebra and Trigonometry 2e, section 13.4: Series and Their Notations
OpenStax · Sprawdzono 29 sierpnia 2026
Wyprowadzenie sumy n początkowych wyrazów szeregu arytmetycznego.
- Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki
Centralna Komisja Egzaminacyjna · Sprawdzono 29 sierpnia 2026
Oficjalna polska karta egzaminacyjna dla ciągu arytmetycznego i jego sumy.