Oblicz n-ty wyraz
aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹Wzory dotyczące ciągów
Ciąg geometryczny
Oblicz n-ty wyraz, sumę n początkowych wyrazów albo sumę zbieżnego szeregu geometrycznego, a także wyznacz a₁, q lub n.
Wzór
aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹; Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) / (1 - q) W ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez ten sam iloraz q, więc n-ty wyraz rośnie wykładniczo; suma częściowa wymaga osobnego wzoru dla q = 1, a cały szereg nieskończony ma sumę skończoną tylko dla |q| < 1.
Kalkulator: ciąg geometryczny
Symbole i jednostki
| Symbol | Wielkość | SI | Obsługiwane jednostki |
|---|---|---|---|
| a₁ | pierwszy wyrazWartość wyrazu o numerze 1; musi być różna od zera. | 1 | 1 |
| q | iloraz ciąguStały iloraz dwóch kolejnych wyrazów: q = aₙ₊₁ / aₙ. Musi być różny od zera i może być ujemny. | 1 | 1 |
| n | numer wyrazuPozycja wyrazu w ciągu; liczba naturalna większa lub równa 1. | 1 | 1 |
| aₙ | n-ty wyrazWartość wyrazu o numerze n, obliczona ze wzoru ogólnego. | 1 | 1 |
| Sₙ | suma n początkowych wyrazówSuma a₁ + a₂ + ... + aₙ; dla q = 1 upraszcza się do n × a₁. | 1 | 1 |
| S | suma szeregu nieskończonegoGranica sum częściowych, określona wyłącznie dla |q| < 1. | 1 | 1 |
Przekształcenia wzoru
Suma n wyrazów dla q ≠ 1
Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) / (1 - q)Suma n wyrazów dla q = 1
Sₙ = n × a₁Suma szeregu nieskończonego dla |q| < 1
S = a₁ / (1 - q)Oblicz pierwszy wyraz
a₁ = aₙ / qⁿ⁻¹Oblicz iloraz ciągu
q = (aₙ / a₁)^(1 / (n - 1))Przykłady krok po kroku
Ósmy wyraz ciągu
Ciąg geometryczny zaczyna się od a₁ = 3 i ma iloraz q = 2. Oblicz a₈.
- 1Krok 1: Użyj wzoru ogólnego aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹.
- 2Krok 2: Podstaw a₁ = 3, q = 2 i n = 8: a₈ = 3 × 2⁷.
- 3Krok 3: Oblicz 2⁷ = 128 i pomnóż przez 3, aby otrzymać a₈ = 384.
Wynik: a₈ = 384
Suma zbieżnego szeregu nieskończonego
Oblicz sumę szeregu nieskończonego 4 + 2 + 1 + 0,5 + ..., w którym a₁ = 4 i q = 0,5.
- 1Krok 1: Sprawdź zbieżność: |q| = 0,5 < 1, więc szereg ma sumę skończoną.
- 2Krok 2: Użyj wzoru S = a₁ / (1 - q).
- 3Krok 3: Podstaw: S = 4 / (1 - 0,5) = 4 / 0,5 = 8.
Wynik: S = 8
Źródła i weryfikacja
- Algebra and Trigonometry 2e, section 13.3: Geometric Sequences
OpenStax · Sprawdzono 29 sierpnia 2026
Definicja ciągu geometrycznego i wzór ogólny na jego n-ty wyraz.
- Algebra and Trigonometry 2e, section 13.4: Series and Their Notations
OpenStax · Sprawdzono 29 sierpnia 2026
Suma n początkowych wyrazów szeregu geometrycznego i warunek zbieżności szeregu nieskończonego.
- Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki
Centralna Komisja Egzaminacyjna · Sprawdzono 29 sierpnia 2026
Oficjalna polska karta egzaminacyjna dla ciągu geometrycznego i szeregu zbieżnego.